jueves, 3 de diciembre de 2009

ECUACIONES SIMULTANEAS

SISTEMA DE ECUACIONES SIMLTANEAS DE PRIMER GRADO Y SUS RESOLUCIONES


Cuando los valores de X e Y que verifican dos o más ecuaciones de primer grado dadas son los mismos, decimos que dichas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones simultaneas de primer grado.


ECUACIONES EQUIVALENTES


Son aquellas ecuaciones que sólo se diferencian por un múltiplo constante, es decir, que cualquiera de ellas se puede obtener multiplicando la otra por dicha constante.


Ejemplo: 5x+3y=12
10x+6y=24


Estas dos ecuaciones son equivalentes ya que la primera por dos y a su vez la primera se puede obtener multiplicando la segunda por un medio.


MÉTODO DE REDUCCIÓN



1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
sistema
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.
sistema
Restamos y resolvemos la ecuación:
operaciones
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
solución
Solución:
solución



MÉTODO DE SUSTITUCIÓN



1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
sistema
1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
despejar
2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
ecuación
3 Resolvemos la ecuación obtenida:
ecuación ecuación
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
solución
5 Solución
solución



MÉTODO DE IGUALACIÓN




1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
sistema
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
despejar
despejar
2 Igualamos ambas expresiones:
ecuación
3 Resolvemos la ecuación:
ecuación
ecuación
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
solución
5 Solución:
solución







MÉTODO GRÁFICO



Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:
  1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
  2. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
  3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
  4. En este último paso hay tres posibilidades:
    1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
    2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
    3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
   x + y = 6002x - y = 0

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:
      y = -x + 600y = 2x
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600y = 2x
xyxy
200400100200
6000200400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:


Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.



SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO CON 3 INCOGNITAS


Para resolver estos sistemas procedemos a utilizar los mismos métodos utilizados en los sistemas de 2 ecuaciones, es decir:
a- Métodos analíticos
b- Método gráfico


Con los métodos analíticos se procede a combinar dos de las tres ecuaciones dadas, y en cada ecuación al menos uno de los coeficientes de las variables es diferente de 0. Esta combinación se hace con fines de eliminar una de las variables, obteniéndose así una ecuación con sólo dos incognitas.


Después tomamos una de las dos ecuaciones seleccionadas al inicio y con la 3ra ecuación realizamos al mismo procedimiento que hicimos con las 2 primeras ecuaciones, obteniéndose así otra nueva ecuación con las mismas dos variables que tiene la ecuación obtenida en el 1er caso.


Obtenidas las dos ecuaciones anteriores podemos resolver este sistema se ecuaciones simultaneas de dos variables. Procedemos a sustituir los valores de estas dos incógnitas o variables en una de las 3 ecuaciones para obtener así el valor de la 3ra variable.


Ejemplo:
1-) 2x+3y+z=1
2-) 6x-2y-z=-14
3-) 3x+y-z=1


Tomamos la ecuación 1 y 2, y reducimos por medio de suma algebraica:


4-) (2x+3y+z=1) + (6x+2y-z=14) = 8x+y=-13


Hemos obtenido la ecuación no.4, en las variables x e y. Ahora tomando las ecuaciones 2 y 3 y reduciéndolas por medio de resta tenemos:


5-) (6x-2y-z=-14) + (-3x-y+z=-1) = 3x-y=-15


Hemos obtenido otra ecuación en las variables x e y.


Resolver ahora el sistema formado por las ecuaciones 4 y 5 en las variables x e y.


4-) 8x+y=-13
5-) 3x-3y=-15


Multiplicando la ecuación número 4 por 3 tenemos:


(24x+3y=-39) + (3x-3y=-15)= 27x=-54; x=-54/25; x= -2


Sustituyendo este valor de x en la ecuación número 4 tenemos:


8x+y= -13= 8(-2)+y=-13
-16+y=-13
y=-13+16; y=3















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