jueves, 7 de enero de 2010

MATRICES Y DETERMINANTES



En matemáticas, una matriz es una tabla de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para
describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Definiciones y notaciones

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos. Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.

Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.

Normalmente se escribeA:=(a_{i,j})_{m \times n} para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.


Ejemplo :

La matriz,

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&0&5\end{bmatrix}
es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.

La matriz,
 R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.


OPERACIONES BASICAS

Suma o adición:
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
   \begin{bmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix}     1 & 0 & 5 \\     7 & 5 & 0 \\     2 & 1 & 1   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     1+1 & 3+0 & 2+5 \\     1+7 & 0+5 & 0+0 \\     1+2 & 2+1 & 2+1   \end{bmatrix} =    \begin{bmatrix}     2 & 3 & 7 \\     8 & 5 & 0 \\     3 & 3 & 3   \end{bmatrix}



PROPIEDADES

Asociativa:

Dadas las matrices m×n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C

Conmutativa:

Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A

Existencia de matriz cero o matriz nula:

A + 0 = 0 + A = A

Existencia de matriz opuesta:
con gr-A = [-aij]
A + (-A) = 0

PRODUCTO POR UN ESCALAR

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Ejemplo:

2   \begin{bmatrix}     1 & 8 & -3 \\     4 & -2 & 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\     2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2 & 16 & -6 \\     8 & -4 & 10   \end{bmatrix}




PROPIEDADES

Sean A y B matrices y c y d escalares.

Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA)
Elemento Neutro: 1·A = A
Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB
De matriz: (c+d)A = cA+dA



PRODUCTO

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:

 (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j] \!\

para cada par i y j.

Por ejemplo:

   \begin{bmatrix}     1 & 0 & 2 \\     -1 & 3 & 1 \\   \end{bmatrix} \times   \begin{bmatrix}     3 & 1 \\     2 & 1 \\     1 & 0   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}      (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\     (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     5 & 1 \\     4 & 2 \\   \end{bmatrix}

MATRICES CUADRADAS Y DEFINICIONES RELACIONADAS

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo.
M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.

La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones MIn = M y InN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3:

  \mathbf{I}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} .

La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.
Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices invertibles o matrices no singulares. Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que
AB = In = BA.

En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A-1 . El conjunto de todas las matrices invertibles n por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general.

Si λ es un número y v no es un vector nulo tal que Av = λv, entonces se dice que v es un vector propio de A y que λ es su valor propio asociado. El número λ es un valor propio de A si y sólo si A−λIn no es invertible, lo que sucede si y sólo si pA(λ) = 0, donde pA(x) es el polinomio característico de A. pA(x) es un polinomio de grado n y por lo tanto, tiene n raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.

El determinante de una matriz cuadrada A es el producto de sus n valores propios, pero también puede ser definida por la fórmula de Leibniz. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero.

El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus n valores propios.













LOS VECTORES

Un vector es una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección u orientación, la cual puede ser representada en coordenadas polares o mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas. Alternativamente, de un modo más formal y abstracto, un vector es una magnitud física, que fijada una base, se representa por una secuencia de números o componentes independientes tales que sus valores sean relacionables de manera sistemática cuando son medidos por diferentes observadores.
Ejemplo
La distancia entre dos coches que
parten de un mismo sitio no puede quedar determinada únicamente por sus celeridades, esto es, los módulos de sus velocidades. Si éstas son 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora, la distancia entre los mismos podrá ser, entre otras posibilidades:
De 10 km, si los dos coches se mueven en la misma dirección.
De 70 km, si se mueven en dirección contraria.De 50 km, si se mueven en direcciones perpendiculares.
Así, la distancia entre los dos coches, no depende sólo de la celeridad de los coches (lo que marca el velocímetro). Es necesario definir la velocidad con carácter vectorial, esto es, asociar dirección al dato numérico (o módulo).


MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORES


Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energ
ía, la temperatura, etc., que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan
c
ompletamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras que son llamadas escalares.


Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente m
atemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, determinada por el ángulo que forma el vector con los ejes de coordenadas. Así pues, podemos enunciar:
Un vector es una magnitud física que tienen módulo y dirección.
Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el mod
ulo del vector y la "punta de flecha" indica su dirección, la cual se mide en coordenadas polares.


NOTACIÓN

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar). Ejemplos:
... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: ...
En los textos manuscritos escribiríamos: ... para los vectores y ... o ... para los módulos.

Cuando convenga, representaremos la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ... resultando muy útil esta notación para los vectores desplazamiento.
Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima.


TIPOS DE VECTORES

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).
Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.
Vectores colineales: los ve
ctores que compa
rten una misma recta de acción.
Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano)


COMPONENTES DE UN VECTOR


Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres de vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por i, j , k, paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano será de otra forma.

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.


OPERACIONES CON VECTORES


Suma de vectores:

Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.


Método del paralelogramo
:

Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extr
emo del otro (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal del paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.


Método del triángulo:

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. A continuación se une el origen del primer vector con el extremo del segundo.


Método analítico. Suma y diferencia de vectores:

Dados dos vectores libres,

  \mathbf{a} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k})
  \mathbf{b} = (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma
 \mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_x \mathbf{i} +a_y \mathbf{j} +a_z \mathbf{k}) \pm (b_x \mathbf{i} +b_y \mathbf{j} +b_z \mathbf{k})

y ordenando las componentes,

  \mathbf{a} \pm \mathbf{b} =  (a_x + b_x) \mathbf{i} + (a_y + b_y) \mathbf{j} + (a_z + b_z)\mathbf{k}

Conocidos los módulos de dos vectores dados, a y b , así como el ángulo θ que forman entre sí, el módulo de es:

 |\mathbf{a} \pm \mathbf{b}| = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta}
La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.
Producto de un vector por un escalar


PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar.

Partiendo de un escalar "N" y de un vector "A" , el producto de "N" por "A" se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es, dado el vector

  \mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

su producto por el escalar es
  n \, \mathbf{a} = na_x \mathbf{i} + na_y \mathbf{j} + na_z \mathbf{k}

esto es, se multiplica por "N" cada una de las componentes del vector.




DERIVADA DE UN VECTOR

Dado un vector que es función de una variable independiente

  \mathbf{a}(t)=  a_x(t) \mathbf{i} +a_y(t) \mathbf{j} +a_z(t) \mathbf{k}

Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

  \frac{d}{dt}\mathbf{a}(t)=  \frac{d}{dt}a_x(t) \mathbf{i} +  \frac{d}{dt}a_y(t) \mathbf{j} +  \frac{d}{dt}a_z(t) \mathbf{k}

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

  \mathbf{r}(t) =  \sin(t) \mathbf{i} + \cos(t) \mathbf{j} + 5t \mathbf{k}

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función representa el vector de posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector de posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES

El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores A y B viene dado por:

  \cos \theta = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf b}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}








jueves, 3 de diciembre de 2009

SISTEMA DE INECUACIONES


Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos dedesigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como intervalo
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notacióna > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre deinecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.
La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.
PROPIEDADES




Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:

Tricotomía

La propiedad de la tricotomía dicta que:
  • Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
    •  \, a < b
     \, a = b

    •  \, a > b


Simetría

Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:
  • Para dos números reales, a y b:
    • Si  \, a > b entonces  \, b < a
    • Si  \, a < b entonces  \, b > a


Transitiva

  • Para tres números reales, a, b, y c:
    • Si  \, a > b y  \, b > c entonces  \, a > c
    • Si  \, a < b y  \, b < c entonces  \, a < c
    • Si  \, a > b y  \, b = c entonces  \, a > c


Adición y sustracción

Las propiedades relacionadas con la adición y susttracción
  • Para tres números reales, a, b, y c:
    • Si  \, a > b ; entonces  \, a + c > b + c y  \, a - c > b - c
    • Si  \, a < b ; entonces  \, a + c < b + c y  \, a - c < b - c


Multiplicación y división

Las propiedades relativas a la multiplicación y división
  • Para tres números reales, a, b, y c:
    • Si  \, c es positivo y  \, a > b entonces  \, a \times c > b \times  c y  \, \frac{a}{c} > \frac{b}{c}
    • Si  \, c es positivo y  \, a < b entonces  \, a \times c < b \times  c y  \, \frac{a}{c} < \frac{b}{c}
    • Si  \, c es negativo y  \, a > b entonces  \, a \times c < b \times  c y  \, \frac{a}{c} < \frac{b}{c}
    • Si  \, c es negativo y  \, a < b entonces  \, a \times c > b \times  c y  \, \frac{a}{c} > \frac{b}{c}


Nota:
Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se da la vuelta.


TIPOS DE INECUACIONES


INECUACIÓN
TIPO
2x-3 > x-5
1º grado; 1 incóg.
x-3 ≥ y
1º grado; 2 incóg
x2-5x ≤ 4
2º grado; 1 incóg.
xy-3 > 0
2º grado; 2 incóg.




INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO




Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.
x2 - 5x + 6 > 0
Las soluciones de la ecuacion x2 - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde -¥ hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta ¥ .
x - 2 es negativo para los valores entre -¥ y 2.
x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
x - 2 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .
x - 3 es negativo para los valores entre -¥ y 2.
x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x - 3 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .
Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:
x2 -5x + 6 es positivo para los valores entre -¥ y 2.
x2 - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x2 - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .