jueves, 3 de diciembre de 2009

SISTEMA DE INECUACIONES


Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos dedesigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como intervalo
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notacióna > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre deinecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.
La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.
PROPIEDADES




Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:

Tricotomía

La propiedad de la tricotomía dicta que:
  • Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
    • \, a < b
    \, a = b

    • \, a > b


Simetría

Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:
  • Para dos números reales, a y b:
    • Si \, a > b entonces \, b < a
    • Si \, a < b entonces \, b > a


Transitiva

  • Para tres números reales, a, b, y c:
    • Si \, a > b y \, b > c entonces \, a > c
    • Si \, a < b y \, b < c entonces \, a < c
    • Si \, a > b y \, b = c entonces \, a > c


Adición y sustracción

Las propiedades relacionadas con la adición y susttracción
  • Para tres números reales, a, b, y c:
    • Si \, a > b ; entonces \, a + c > b + c y \, a - c > b - c
    • Si \, a < b ; entonces \, a + c < b + c y \, a - c < b - c


Multiplicación y división

Las propiedades relativas a la multiplicación y división
  • Para tres números reales, a, b, y c:
    • Si \, c es positivo y \, a > b entonces \, a \times c > b \times c y \, \frac{a}{c} > \frac{b}{c}
    • Si \, c es positivo y \, a < b entonces \, a \times c < b \times c y \, \frac{a}{c} < \frac{b}{c}
    • Si \, c es negativo y \, a > b entonces \, a \times c < b \times c y \, \frac{a}{c} < \frac{b}{c}
    • Si \, c es negativo y \, a < b entonces \, a \times c > b \times c y \, \frac{a}{c} > \frac{b}{c}


Nota:
Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se da la vuelta.


TIPOS DE INECUACIONES


INECUACIÓN
 TIPO
2x-3 > x-5
 1º grado; 1 incóg.
x-3 ≥ y
 1º grado; 2 incóg
x2-5x ≤ 4
 2º grado; 1 incóg.
xy-3 > 0
 2º grado; 2 incóg.




INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO




Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.
x2 - 5x + 6 > 0
Las soluciones de la ecuacion x2 - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde -¥ hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta ¥ .
x - 2 es negativo para los valores entre -¥ y 2.
x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
x - 2 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .
x - 3 es negativo para los valores entre -¥ y 2.
x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x - 3 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .
Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:
x2 -5x + 6 es positivo para los valores entre -¥ y 2.
x2 - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x2 - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .








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1 comentario:

  1. Anónimo22 de septiembre de 2010, 15:06

    muy bueno,
    pero aganlo con un ejercisio mas complicado :)
    para entender mejor
    pero muy buena la explicacion me quedo super claro , yo que tengo confusion con los signos

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